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Calcul du moment d'inertie

Goldorak

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Posté le : 23/04/2010, 11:35 (Lu 7892 fois)
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Bonjour à tous , voila j'étudie la formule W = (pi)² / 1800 x J x n² mais elle ne semble pas me contenter pleinement puisque pour connaitre J il faut avoir entre autre l'énergie cinétique de rotation dès le départ .

W est l'énergie cinétique de rotation , J le moment d'inertie et n le nombre de rotations par minute .

Ma question est la suivante , est il possible de déterminer le moment d'inertie de n'importe quel objet en rotation ayant une forme complexe en ayant comme paramètres de départ le nombre de rotations par minutes et la masse de l'objet ? merci

Re: Calcul du moment d'inertie [71674]

moulin

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Posté le : 25/04/2010, 10:20 (Lu 7883 fois)
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Cher Goldorak.

Le solide n'a pas a etre en rotation pour calculer son moment d'inertie.
Il faut connaitre l'axe autour duquel il est en rotation.

Probleme identique : Il n'y a pas besoin qu'un solide soit en mouvement pour calculer sa masse.

Cela dit, on calcule le moment d'inertie d'un solide par le calcul integral.

Le principe est toujours le meme :
Le moment d'inertie d'un solide ponctuel de masse m est m r^2, m est la masse du poiint et r sa distance a l'axe.


Pour un solide, on prend un volume suffisamment petit (de volume dx dy dz) pour que la distance des elements de ce volume soit r (pour que la distance ne varie pas)(si le volume etait plus grand, du fait des dimensions du volume, r varirait)

Puis le calcul integral permet ensuite de sommer tous ces elements.

Il faut que la surfacedu solide permette ce genre de calcul, si la surface n'a pas une expression integrable on ne peut pas calculer le moment d'inertie par cette methode.

Il faut donc pour faire le calcul du moment d'inertie :
1 - la densite du corps qui constitue cet objet
2 - la forme de l'objet (cyliyndre, sphere, tore etc etc)
___________________________

Additif a la reponse : Il y a une formule par ailleurs qui donne l'inertie du solide selon l'axe de rotation -> on aboutit a quelque chose qui se nomme ellipsoide d'inertie, c'est une surface que l'on appelle quadrique et qui peut etre aussi representee par le produit de deux matrices et qui a avoir avec les tenseurs (tenseur d'inertie).

Ce sont des formules que connaissent tous les mecaniciens.

Quand on concoit par exemple un element d'un robot, pour calculer comment il va se comporter dynamiquement, il faut calculer le tenseur d'inertie de cet elements.

_________________________

Si tu veux je peux te donner un exemple simple de ce type de calcul. (du premier paragraphe)

J'espere que j'ai ete comprehensible.


Meilleures amities

J-P Moulin



J-P M.

Re: Calcul du moment d'inertie [71685]

Goldorak

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Posté le : 25/04/2010, 23:44 (Lu 7871 fois)
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Oh que oui merci Moulin je voudrais bien un exemple simple car j'ai encore certaines difficultés à comprendre le calcul intégral




Re: Calcul du moment d'inertie [71686]

moulin

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Posté le : 26/04/2010, 11:33 (Lu 7861 fois)
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Cher Goldorak

Ce n'est pas difficile comme tu vas le voir.

On va prendre un barreau de longueur 2 r et l'axe de rotation est perpendiculaire au barreau et au milieu du barreau.
Le barreau est homogene, c'est a dire qu' il a une masse volumique constante. On pourrait s'amuser a imaginer un truc qui ai une masse volumique variable (en fonction de la distance a l'axe de rotation) , mais la on commence a donner dans les loufoqueries.

Tu vas considerer un tout petit element de masse m du barreau.
Cet element a une longueur dl c'est a dire que c'est un tout petit rectangle dont une extremite se trouve a une longueur l (comprise entre 0 et R) de l'axe et dont l'autre extremite se trouve a l + dl de l'axe.

L'inertie I d'un point de masse m situe a une distance l de l'axe de rotation est I = m r^2
dl est si petit que tous les morceaux du barreau constituant cet element se trouvent a une distance l. On a choisi dl si petit que la distance des elements se trouvent tous a une distance l.

c'est ca le truc du calcul integral : reduire une grandeur qui varie en une somme de petits paquets, si petits que la grandeur ne peut varier dans chaque paquet.

Donc chaque petit element a un moment d'inertie m l^2 dl.

Par un theoreme (pas difficile a demontrer) on montre que la somme de tous ces petits elements est

somme de m l^2 dl (somme c'est le fameux porte manteau qui d'ailleurs est une stylisation de la lettre S).
c'est l'integrale de l^2 dl

somme de m l^2 dl = m l^3 / 3

somme de x^3 dx = x^3 / 3 ou si tu preferes la primitive de x^2 c'est x^3 / 3

Il faut maintenant (et apres c'est fini) calculer ce qu'on denomme une integrale definie, c'est a dire somme entre -r et +r de m l^2 dl
car l est compris entre les deux extremites du barreau c'est a dire -r et + r.


Cela se calcule en prenant la valeur de m l^3 / 3 pour l = r moins la valeur de m l^3 / 3 pour l = -r

valeur de m l^3 /3 pour l = r -> m r^3 / 3
valeur de m l^3 /3 pour l = -r -> - m r^3 / 3

(valeur de m l^3 /3 pour l = r) - (valeur de m l^3 /3 pour l = r) =
m r^3 / 3 - (- m r^3 / 3) = 2 m r^3 / 3 ou 2/3 m r^3 si tu preferes.

Je me suis peut etre trompe dans ces calculs bien qu'ils soient elementaires car il y a bien longtemps que j'ai fait cela, mais le principe est bon, j'en suis certain.

Je t'ai repondu et j'ai detaille la reponse car l'apprentissage des mathematiques c'est comme cela que ca se fait, tu peux comprendre vraiment ce qu'est une integrale en comprenant vraiment le calcul d'un moment d'inertie. L'apprentissage des mathematiques ce n'est pas des abstractions qui tombent du ciel, c'est le tripotage de formules.
Je vais prendre un cas celebre : Cauchy a fait la theorie des integrales curvilignes en resolvant le probleme du travail d'une force qui varie le long du contour d'une courbe, et et a debute en faisant un calcul trivial le long d'un carre.

Tu peux d'ailleurs dans la foulee comprendre ce qu'est une quadrique et un tenseur (un des trucs les plus utilises en physique) en imaginant que l'axe autour duquel le solide tourne varie lui meme. A chaque position d el'axe correspond un moment d'inertie.
Ingurgite deja la notion d'integration et tu n'aurai pas perdu ton temps a mon avis.

Quand tu as compris cela tu peux resoudre tous les probles ou la grandeur a calculer varie : travail d'un ressort ou calcul de ton poids , probleme que s'est pose Newton : quelle est l'attraction qu'exerce sur une masse ponctuelle m1 (ton poids) une sphere homogene (la terre)).

On decoupe la sphere en tout petit cube (dx dy dz) les longuers dx dy et dz sont si petites que toutes les parties de de masse de ce petit cube se trouvent a une distance d de m1.
la on a a calculer l'integrale de 1 / d^2


Meilleures amities.

J-P Moulin





J-P M.

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