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Analyse spectrale [69049]

ECOLAMI

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Posté le : 18/11/2009, 12:18 (Lu 3753 fois)
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Commentaire :  et Transformation de Fourrier


Bonjour,
J'entends souvent parler de l'analyse spectrale par Transformée de Fourrier mais je n'ai jamais su quel etait le détecteur ni ce qu'il mesurait réellement.
Je sais juste que cette technique mathématique permet de trier un mélange complexe de fréquences ou de signaux périodiques.
C'est employé en optique ou pour les signaux sonores. Donc suivant les cas le détecteur est adapté, mais au final les grandeurs mesurées sont comparables mathématiquement.


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Re: Analyse spectrale [69055]

moulin

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Posté le : 18/11/2009, 21:34 (Lu 3742 fois)
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Cher Ecolami

Je serai plus competent pour te parler de la transformee de Laplace (tres proche de la transformee de Fourier) car j'ai fait un C4 d'electronique et de servomecanismes.
Neanmoins, je me permets de te repondre.

C'est completement abstrait, independant donc du capteur et du phenomene et du support ou le capteur a ecrit.
Ce qui compte c'est qu'on ait une grandeur periodique, i.e f(t) = f(t + n omega)
n est un entier quelconque et omega la periode. omega = 2 pi frequence

Un traitement mathematique permet de decomposer ce signal periodique en somme de sinus et de cosinus multiplies par un un coefficient.

ces sinus et cosinus sont les harmoniques du signal.

Par exemple un signal carre de frequence n est la somme de sinus de frequence impaires, la serie est : sin t + 1/3 sin 3t + 1/5 sin 5t ...

tu parles de phenomenes lumineux et d e henomenes sonores periodiques mais cela pourrait etre les marees ou n'importe quel chose qui est periodique.

Les connaissances pour calculer la transformee de fourier d'un signal periodique demandent de savoir calculer des integrales definie de type somme de mois pi a plus pi de cosnx cos px dx.
La premier fois ou j'ai accroche a ce sujet, c'etait dans le cours de math gene de Delteil.
A ce propos je voudrais dire une chose surtout valable en mathematiques : il existe meme pour les sujets les plus ardus, un topo qui va etre comprehensible ; avant j'ouvrais un livre pour avoir des idees sur les groupes de Lie par exemple et le bouquin etait tellement ardu que je me souvien n'avoir meme pas compris les phrases d'introduction, j'etais au bord des pleurs. En fait je me suis apercu qu'il existe pour chaque personne des livres adaptes, je ne parle pas de vulgarisation mais de veritable enseignement.

A quoi une transformation qui decompose un signal en serie de sinusoides : Quand on a des sinusoides en electricite, on se debrouille tres bien avec les vecteurs (et le calcul imaginaire)

Mais quand on veut etudier la reponse d'un systeme a des signaux periodiques non simusoidaux il faut d'abors decomposer le signal en sinusoides car on sait traiter le probleme pour les sinusoides.

Pour terminer, on sait aussi faire la transformee de fourier de signaux non periodiques.

Par exemple tu as un syteme de ressort de masse et d'amortisseur et tu donne un signal en marche d'escalier a ce systeme, (exemple d'une voiture qui monte sur un trottoir) et tu veux connaitre la reponse de ce systeme.

cela se traite avec une telle transformation. J'ai surtout utilise la transformee de Laplace tres proche.

Il existe de la transformee de fourier a n dimensions (exploration spatiale par les rayons X des cristaux), je ne connais que de nom.

Et puis il y a des transformations beaucoup plus performantes, la transformee en ondelette. je ne connais que de nom, je crois (mais je dis peut etre des betises) que cela donne le spectre mais aussi sa variation dans le temps, imagine par exemple une consonne prononcee devant un micro et sa transformee en ondelette ou une note de piano.
Je sais qu'on s'en sert beaucoup en biologie, imagine par exemple le potentiel recueilli sur une derivation d'un electroencephalographe.

Au total (je prends un exemple electrico electronique parce que cela m'est le plus familier):

courant continu -> multiplications, loi d'ohm
courant alternatif -> imaginaires
signaux periodique et non periodique transformee de fourier ou de la Laplace.

Je me souviens d'un examen final de C4, on donnait la reponse d'une bobine d'un accelerateur a une impulsion et on nous demandait quelle devait etre la forme du signal pourque la reponse de la bobine soit une impulsion.

Voila, je'espere que tu as des idees plus precises maintenant.
Si ces explications sont obscures, n'hesite pas, c'est un plaisir.

Amities.


J-P Moulin


J-P M.

Re: Analyse spectrale [69059]

ECOLAMI

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Posté le : 19/11/2009, 00:44 (Lu 3734 fois)
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Bonsoir Moulin,
Merci pour ces informations détaillées sur la transformée de Fourrier.
Il reste encore une question sur ce que doit mesurer un détecteur: j'imagine une mesure numérique avec un découpage du signal qui pourra alimenter le processeur. Dans le cas d'un spectroscope je ne sais pas du tout comment un détecteur peut discerner les fréquences lumineuses SANS monochromateur.

Je savais que la Transformée de Fourrier peut s'appliquer à une immense variété de problèmes, mais j'ignorais qu'elle puisse s'appliquer a des phénomènes NON périodiques.


Tri+traitement Produits chimiques 77 (Seine et Marne)

Re: Analyse spectrale

moulin

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Posté le : 19/11/2009, 09:25 (Lu 3727 fois)
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Cher Ecolami

La transformee de fourier est un des traitements du signal qui permet a partir d'un signal periodique de connaitre l'amplitude des harmoniques, c'est completement independant de sa mise en oeuvre.

J'ai une pensee qui a exactement la meme forme : l'axe d'un solide en rotation est une abstraction independante de la substance des corps constituants le solide, car un axe n'est pas materiel ; un traitement mathematique du signal aussi.

Tu laisse le detecteur faire son boulot ; il ramene sur le dispositif enregistreur un signal a qui tu peux faire une transformee de fourier ou une decomposirtion enserie de fourier ou n'importe quel autre traitement mathematique.

Dans ta deuxieme phrase , tu parle d'une conversion analogique/digitale qui est autre chose, un autre traitement du signal.
Souvent les capteurs nous donnent un signal analogique (la grandeur peut prendre toutes les valeurs entre deux bornes, par exemple un signal qui evolue entre 0 et 5 volts continuement) mais les processeurs ne connaissent que le digital , c'est a dire des grandeurs discretes c'est en dire en nombre fini (v1, v2, v3, v4, ..,vn) ce nombre est si on enregistre la grandeur dans un mot de k bits, 2 a la puissance k, par exemple si tu stocke les valeurs du signal dans un octet, le signal digitalise prendra 256 = 2 a la puissance 8 valeurs possibles) ;
on a resolu le probleme de representer une valeur continue en valeur discrete en prenant periodiquement (aux temps t, t + tau, t + 2 tau, t + 3 tau etc ...) la valeur de signal, si le capteur au temps t + k tau a releve la valeur analogique Va on enregistre comme valeur numerique, celle parmi l'ensemble (v1, v2, v3, v4, ..,vn) qui est la plus proche de Va Techniquement c'est legerement different (fonction plancher ou fonction plafond).
On demontre (theoreme de Shannon) que l'on peut reconstituer le signal analogique a partir du signal digital ainsi obtenu si la frequence d'echantillonage est au moins deux fois la frequence de l'harmonique la plus haute du signal echantillone sinon on fait une salade (repliment) qui empeche la reconstitution.
DOnc quand tu ecoutes de la musique dont on veut entendre les harmoniques jusuq'a 50 kilohertzs, on est oblige de prendre une frequence d'echantillonage de 100 kilohertzs. On entends pas directement50 kiloherzs mais on le percoit car la prence de ces harmoniques conditionnent le temps de montee du signal, temps de montee qu'analyse tres bien le cerveau.

Un spectroscope te donne deja le spectre du signal lumineux.
Le monochromateur donne les frequences une a une, mais le spectre donne par un reseau donne une image ou chaque frequence d'un signal lumineux periodique et son amplitude est donne par sa position sur une ligne. Le monochromateur est une methode parmi tant d'autre pour connaitre l'amplitude d'une raie (par exemple dosage du lithium dans le sang) mais on peut faire autrement.

Par exemple, je fais partie d'un groupe d'observation des spectres des etoiles, ce groupe ne releve que des spectres de toutes les frequences que donne la camera CCD, il n'y a pas de monochromateur. On fait ensuite un traitement qui donne l'amplitude pour chauque frequence et on analyse ainsi tres bien un sursaut de l'etoile pour une raie de l'hydrogene.

Dans les phenonmenes non periodiques on parle de serie de fourier, un signal qui caracterise totalement un syteme est une impulsion (on parle d'une impulsion de Dirac) qui contient toutes les frequences (bruit blanc) et sa derivee (exces de langage car un Dirac est une distribution et non une fonction derivable) sa derivee qui est un echelon ou une marche.
Dirac n'existe pas vraiment (distribution egale a 0 partout sauf pour x = 0 ou la distribution est egale a l'infini) (delta de x = infini si x = 0 sinon delta (x) = 0)

C'est la reponse a une impulsion de dirac qui souvent sert a caracteriser le systeme.

L'idee generale est donc

electricite des courants continus , pas de varaition dans le temps du signal -> l'outil les grandeurs scalaires, les nombres habituels

sur les courants sinusoidaux -> l'outil representant les signaux est un vecteur tournant sin (omega t + phi) , et il est commode d'employer les imaginaires
et enfin sle signaux quelconques, ce qui est le plus frequent
comment repond un systeme a une peche qui se represente par un creneau isole, on faits les calculs dans un autre espace que l'espace habituel, et dans cet espace les signaux sont decomposes en serie de siunusoides.
C'est employe partout, par exemple une modelisation de batiment en mecanique que l'on soumet a des chocs ou des vibrations.
La transfromation de fourier ou de laplace sont des traitements qui permettent de passer de l'espace des signaux a l'espace des frequences
la reprensetation du systeme dans cet autre espace dans le cas de la transformee de laplace est la fonction de transfert.

la transforme de laplace d'un signal Se mis dans la fonction de transfert donne la transformee de laplace du signal Ss reponse du systeme au signal Se, on convertit ensuite Se par la transformee de laplace inverse et on aboutit au signal reponse reelle du systeme,

On a donc l'outil qui permet de traiter la reponse d'un systeme a un choc par exemple.
pour une fois on a quelque chose qui marche en sciences parce que la plupart du temps on aboutit a des modeles non solubles mathematiquement.

Amities.

J-P Moulin


J-P M.

Re: Analyse spectrale [69066]

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Posté le : 19/11/2009, 18:03 (Lu 3718 fois)
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Bonsoir Moulin
Merci beaucoup pour cette explication trés détaillée


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